Question

13．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）+f（x）+f（4）=0，函数f（x+3）的图象关于点（-3，0）对称，则f（2016）=0．

Answer 1

分析 先利用函数y=f（x+3）的图象关于点（-3，0）对称，得到函数y=f（x）是奇函数，然后求出f（4）=0，最后利用函数的周期性求f（2016）的值．

解答 解：因为函数f（x+3）的图象关于点（-3，0）对称，所以函数f（x）的图象关于点（0，0）对称，即为奇函数；
令x=-2得，f（-2+4）+f（-2）=-f（4），即f（2）-f（2）=-f（4），解得f（4）=0．
所以f（x+4）+f（x）=0，即f（x+4）=-f（x）=f（-x），
所以f（x+8）=f（x），即函数的周期是8．
所以f（2016）=f（8×252）=f（0）=0；
故答案为：0．

点评 本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，要求熟练掌握函数奇偶性和周期性的定义和性质．