Question

9．已知${（\sqrt{x}-\frac{2}{x}）^n}$的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等，
（1）求n，
（2）求展开式中x的一次项的系数．

Answer 1

分析 （1）由第4项和第9项的二项式系数相等可得 $C_n^3=C_n^8$，由此求得n的值．
（2）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得展开式中x的一次项的系数．

解答 解：（1）由第4项和第9项的二项式系数相等可得 $C_n^3=C_n^8$，解得 n=11．
（2）由（1）知，展开式的第r+1项为：${T_{r+1}}=C_{11}^r{（\sqrt{x}）^{11-r}}{（-\frac{2}{x}）^r}={（-2）^r}C_{11}^r{x^{\frac{11-3r}{2}}}$，
令$\frac{11-3r}{2}=1$得r=3，此时${T_{3+1}}={（-2）^3}C_{11}^3x=-1320x$，
所以，展开式中x的一次项的系数为-1320．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．