Question

17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示．
（1）求f（x）；
（2）求f（x）的单调减区间，对称轴，对称中心；
（3）若将图象向右平移m个单位，得g（x），g（x）关于y轴对称，求m的最小值；
（4）解不等式f（x）＞-$\frac{3}{2}$；
（5）当x∈[0，$\frac{5π}{12}$）时，f（x）＞2m+3恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用最高点可求A，利用周期求出ω，（$\frac{π}{12}$，3）代入，求出φ，可得函数f（x）的解析式；
（2）令2x+$\frac{π}{3}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，求函数f（x）的单调减区间；令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可得f（x）的对称轴方程；令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，可得f（x）的对称中心横坐标；
（3）利用函数的图象变换规律，结合（1）中函数解析式，及（2）中对称轴方程，可得结论；
（4）由f（x）＞-$\frac{3}{2}$，可得3sin（2x+$\frac{π}{3}$）＞-$\frac{3}{2}$，即可解不等式f（x）＞-$\frac{3}{2}$的解集；
（5）求出当x∈[0，$\frac{5π}{12}$）时函数的最小值，可得f（x）＞2m+3恒成立，求m的取值范围．

解答 解：（1）由题意，A=3，T=4（$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$）=π，
∴ω=2，
∴f（x）=3sin（2x+φ），
（$\frac{π}{12}$，3）代入可得sin（$\frac{π}{6}$+φ）=1，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
（2）由2x+$\frac{π}{3}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，k∈Z得；
2x∈[2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{7π}{6}$]，k∈Z；
即x∈[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z；
即函数f（x）的单调减区间为[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z；
由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z得：2x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
即x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
即函数图象的对称轴为x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z；
由2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z得：2x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即x=$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故函数图象的对称中心为（$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{6}$，0），k∈Z；
（3）由（2）得：函数图象的对称轴为x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z；
即y轴左边离y轴最近的函数图象的对称轴为x=-$\frac{5π}{12}$，
将图象向右平移m个单位，得g（x），g（x）关于y轴对称，
则m的最小值为$\frac{5π}{12}$；
（4）由f（x）＞-$\frac{3}{2}$，可得3sin（2x+$\frac{π}{3}$）＞-$\frac{3}{2}$，
即sin（2x+$\frac{π}{3}$）＞-$\frac{1}{2}$，
即2kπ-$\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{3}$＜2kπ+$\frac{7π}{6}$，
即2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，
即kπ-$\frac{π}{4}$＜x＜kπ+$\frac{5π}{12}$，
∴不等式的解集为{x|kπ-$\frac{π}{4}$＜x＜kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z}；
（5）当x∈[0，$\frac{5π}{12}$）时，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$），
故当x=$\frac{5π}{12}$时，f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）有最小值-$\frac{3}{2}$，
若f（x）＞2m+3恒成立，则-$\frac{3}{2}$≥2m+3，
解得：m≤-$\frac{9}{4}$

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，集合的性质，综合性强，属于中档题．