Question

已知函数满足,对于任意R都有,且,令.
（1）求函数的表达式；
（2）求函数的单调区间；
（3）研究函数在区间上的零点个数.

Answer 1

(1) 解：∵，∴.      … 1分        
∵对于任意R都有,
∴函数的对称轴为，即，得.    …… 2分
又，即对于任意R都成立，∴,且．
　∵，     ∴．　　　　∴．     …… 4分
(2) 解：     …… 5分
① 当时，函数的对称轴为，
若，即，函数在上单调递增；…… 6分
若，即，函数在上单调递增，在上单调递减．…… 7分
② 当时，函数的对称轴为，
则函数在上单调递增，在上单调递减．… 8分
综上所述，当时，函数单调递增区间为，
单调递减区间为；       …… 9分
当时，函数单调递增区间为和，
单调递减区间为和．… 10分
(3)解：① 当时，由(2)知函数在区间上单调递增，
　　　又，
　故函数在区间上只有一个零点．  …… 11分
　② 当时，则，而，
　　，
（ⅰ）若，由于，
且，
此时，函数在区间上只有一个零点； 12分
　（ⅱ）若，由于且，此时，函数在区间  
上有两个不同的零点．          …… 13分
　综上所述，当时，函数在区间上只有一个零点；
　　　　　　当时，函数在区间上有两个不同的零点．  …… 14分

略