Question

椭圆

x2

9

+

y2

4

=1中，被点P（2，1）平分的弦所在直线方程是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：若过点P的弦垂直于x轴，显然P不会是弦中点，所以可设直线斜率为k，可写出直线方程为y=kx-2k+1，带入椭圆方程可得到关于x的一元二次方程．若设该方程两根为x₁，x₂，根据韦达定理可求得

x1+x2

2

=2，这样即可得到关于k的方程，解方程即得k值，从而得出直线方程．

解答： 解：容易判断该弦所在直线存在斜率，设为k，则直线方程为：y=kx-2k+1；
带入椭圆方程并整理得：
（4+9k²）x²+18k（1-2k）+9（1-2k）²-36=0；
根据点P是弦的中点及韦达定理得：

18k(1-2k)

-2(4+9k2)

=2，解得k=-

8

9

；
∴所求直线方程为：y=-

8

9

x+

25

9

．
故答案为：y=-

8

9

x+

25

9

．

点评：考查直线的点斜式方程，椭圆的标准方程，椭圆的对称性，以及韦达定理及中点坐标公式．