Question

8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BT是⊙O的切线，P是线段AB上一点，过P作BC的平行直线与BT交于E点，与AC交于F点．
（Ⅰ）求证：PE•PF=PA•PB；
（Ⅱ）若AB=4$\sqrt{2}$，cos∠EBA=$\frac{1}{3}$，求⊙O的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解决此问的关键是通过平行和圆的切线性质证明△PFA∽△PBE，继而求得答案；
（Ⅱ）首先作直径AH，连接BH，然后通过锐角三角函数的知识求得⊙O的半径，继而求得答案．

解答 （Ⅰ）证明：∵BT切⊙O于点B，
∴∠EBA=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AFP=∠C，
∠AFP=∠EBP，
∵∠APF=∠EPB，
∴△PFA∽△PBE，
∴$\frac{PA}{PE}=\frac{PF}{PB}$，
∴PA•PB=PE•PF；
（Ⅱ）解：作直径AH，连接BH，
∴∠ABH=90°，
∵BT切⊙O于点B，
∴∠EBA=∠AHB
∵cos∠EBA=$\frac{1}{3}$，
∴cos∠AHB=$\frac{1}{3}$，
∵sin²∠AHB+cos²∠AHB=1，又∠AHB为锐角，
∴sin∠AHB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
在Rt△ABH中，
∵sin∠AHB=$\frac{AB}{AH}$，AB=4$\sqrt{2}$，
∴AH=$\frac{AB}{sin∠AHB}$=6，
∴⊙O半径为3；
∴⊙O的面积为：9π．

点评 此题考查了圆的切线性质、相似三角形的判定定理及三角函数的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．