已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点分别为F1.F2.P为双曲线上任一点．且$\overrightarrow{P{F} {1}}$•$\overrightarrow{P{F} {2}}$的最小值的取值范围是[-$\frac{3}{4}$c2.-$\frac{1}{2}$c2].则该双曲线的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

15．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线上任一点．且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最小值的取值范围是[-$\frac{3}{4}$c²，-$\frac{1}{2}$c²]，则该双曲线的离心率的取值范围为$\sqrt{2}$≤e≤2．

分析由题意，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最小值的取值范围是[-$\frac{3}{4}$c²，-$\frac{1}{2}$c²]，可得-$\frac{3}{4}$c²≤-（c-a）（c+a）≤-$\frac{1}{2}$c²，由此即可求出双曲线的离心率的取值范围．

解答解：由题意，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最小值的取值范围是[-$\frac{3}{4}$c²，-$\frac{1}{2}$c²]，
∴-$\frac{3}{4}$c²≤-（c-a）（c+a）≤-$\frac{1}{2}$c²，
∴$\frac{1}{4}$c²≤a²≤$\frac{1}{2}$c²，
∴$\sqrt{2}$≤e≤2，
故答案为：$\sqrt{2}$≤e≤2．

点评本题考查双曲线的离心率的取值范围，考查学生的计算能力，属于中档题．

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