Question

12．若关于x的不等式e^x（ax+1）≥a²ex²+aex（a∈R）在（0，+∞）上恒成立，则a的最大值为（　　）

• A． -$\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由题意可得e^x（ax+1）≥aex（ax+1），即有（ax+1）（e^x-aex）≥0，由不等式在（0，+∞）上恒成立，可得a＞0，且ae≤$\frac{{e}^{x}}{x}$的最小值，运用导数求得右边函数的单调区间和最小值，即可得到所求a的最大值．

解答 解：关于x的不等式e^x（ax+1）≥a²ex²+aex，
即为e^x（ax+1）≥aex（ax+1），
即有（ax+1）（e^x-aex）≥0，
由不等式在（0，+∞）上恒成立，
可得a＞0，且ae≤$\frac{{e}^{x}}{x}$的最小值，
由f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$的导数为$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
可得x=1处，f（x）取得最小值，且为e，
则ae≤e，可得0＜a≤1，
故a的最大值为1．
故选：C．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分解因式和参数分离，转化为求函数的最值求法，考查导数的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．