Question

2．在平面直角坐标系中，若不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥0}\\{x-y+2≥0}\\{x≤k}\end{array}\right.$（k为常数）表示的平面区域D的面积是16，那么实数k的值为3；若P（x，y）为D中任意一点，则目标函数z=2x-y的最大值为9．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，由可行域面积列式求得k值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥0}\\{x-y+2≥0}\\{x≤k}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得C（-1，1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=k}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，解得A（k，-k），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=k}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得B（k，k+2），
由${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}$（2k+2）（k+1）=16，解得：k=3；
∴A（3，-3），
由z=2x-y，得y=2x-z，
由图可知，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9．
故答案为：3，9．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．