Question

3．若g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$+cos（x-$\frac{π+1}{2}$），则g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{3}{2017}$）+g（$\frac{4}{2017}$）+…+g（$\frac{2016}{2017}$）的值为2016．

Answer 1

分析 先化简g（x），得到g（x）+g（1-x）=2，进行求解即可．

解答 解：g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$+cos（x-$\frac{π}{2}$-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$+sin（x-$\frac{1}{2}$），
则g（$\frac{1}{2}$+x）=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$+x）³-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+x）²+3（$\frac{1}{2}$+x）-$\frac{5}{12}$+sin（$\frac{1}{2}$+x-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$+x）³-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+x）²+3（$\frac{1}{2}$+x）-$\frac{5}{12}$+sinx，
g（$\frac{1}{2}$-x）=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-x）³-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-x）²+3（$\frac{1}{2}$-x）-$\frac{5}{12}$+sin（$\frac{1}{2}$-x-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-x）³-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-x）²+3（$\frac{1}{2}$-x）-$\frac{5}{12}$-sinx，
则g（$\frac{1}{2}$+x）+g（$\frac{1}{2}$-x）=$\frac{1}{3}$[（$\frac{1}{2}$+x）³+（$\frac{1}{2}$-x）³]-$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{2}$+x）²+（$\frac{1}{2}$-x）²）]+3[（$\frac{1}{2}$+x）+（$\frac{1}{2}$-x）]-$\frac{5}{6}$
=$\frac{1}{3}$[（$\frac{1}{2}$+x）³+（$\frac{1}{2}$-x）³]-$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{2}$+x）²+（$\frac{1}{2}$-x）²）]+3[（$\frac{1}{2}$+x）+（$\frac{1}{2}$-x）]-$\frac{5}{6}$
=$\frac{1}{3}$[2×（$\frac{1}{2}$）³+3×x²]-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+2x²）+3×1-$\frac{5}{6}$
=$\frac{1}{12}$+x²-$\frac{1}{4}$-x²+3×1-$\frac{5}{6}$=3+$\frac{1}{12}$-$\frac{1}{4}$-$\frac{5}{6}$=3-1=2，
即g（$\frac{1}{2}$+x）+g（$\frac{1}{2}$-x）=2，
则g（x）+g（1-x）=2，
设g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{3}{2017}$）+…+g（$\frac{2015}{2017}$）+g（$\frac{2016}{2017}$）=S，
则g（$\frac{2016}{2017}$）+g（$\frac{2015}{2017}$）+g（$\frac{2014}{2017}$）+…+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{1}{2017}$）=S，
即2S=2016[g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2016}{2017}$）]=2016×2，
则S=2016，
故答案为：2016

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件得到g（x）+g（1-x）=2是解决本题的关键．综合性较强，运算比较复杂．