题目内容
16．已知函数f（x）=ex（-x2+b）．（1）若函数f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x+3，求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）的单凋区间与极值点．
分析 （1）f′（x）=ex（-x2-2x+b）．由点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x+3．可得f（0）=3，f′（0）=3．解得b，可得函数f（x）的表达式；
（2）由f′（x）＜0，f′（x）＞0解出可得函数f（x）的单调递减、增区间，即可求出极值点．
解答 解：（1）f′（x）=ex（-x2-2x+b）．
∵点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x+3．
∴f（0）=3，f′（0）=3．
∴b=3，
∴f（x）=ex（-x2+3）．
（2）f′（x）=ex（-x2-2x+3）=-ex（x+3）（x-1），
由f′（x）＜0，化为（x+3）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜-3，
∴函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-3），（1，+∞）；单调递增区间是（-3，1）
∴极值点为-3，1．
点评 本题考查了利用导数研究其单调性、极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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1．函数y=sin2x的图象在点A（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{4}$）处的切线的斜率是（ ）
| A． | $\sqrt{3}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
的方程为
，
为坐标原点，直线
与椭圆
交于点
为线段
的中点．
分别为
的左顶点和上顶点，且
的斜率为
，求
的标准方程；
，且
，求
面积的最大值．
的等边
的边角地，现修成草坪，图中
把草坪分成面积相等的两部分，
在
上，
在
上．
（
），
，求用
表示
的函数关系式；