Question

已知函数f（x）=e^x，g（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
（1）若f（x）的图象与g（x）的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求b和c的值；
（2）若a=c=1，b=0，试比较f（x）与g（x）的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）分别求出f（x），g（x）的导数，求出切点和切线的斜率，得到方程，解得即可得到b，c；
（2）对x讨论，①x=0时，易得f（x）=g（x），②x＜0时，f（x）＜g（x），③x＞0时，令h（x）=f（x）-g（x）=e^x-x²-1，运用导数，求出单调区间和极值，即可判断大小．

解答： 解：（1）由已知f（0）=1，f'（x）=e^x，f'（0）=1，
g（0）=c，g'（x）=2ax+b，g'（0）=b，
依题意可得

f(0)=g(0) f′(0)•g′(0)=-1

，解得

b=-1 c=1

；
（2）a=c=1，b=0时，g（x）=x²+1，f（x）=e^x，
①x=0时，f（0）=1，g（0）=1，即f（x）=g（x）；
②x＜0时，f（x）＜1，g（x）＞1，即f（x）＜g（x）；
③x＞0时，令h（x）=f（x）-g（x）=e^x-x²-1，则h'（x）=e^x-2x．
设k（x）=h'（x）=e^x-2x，则k'（x）=e^x-2，
当x＜ln2时，k'（x）＜0，k（x）在区间（-∞，ln2）单调递减；
当x＞ln2时，k'（x）＞0，k（x）在区间（ln2，+∞）单调递增．
所以当x=ln2时，k（x）取得极小值，且极小值为k（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4＞0
即k（x）=h'（x）=e^x-2x＞0恒成立，故h（x）在R上单调递增，
又h（0）=0，因此，当x＞0时，h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞g（x）．
综上，当x＜0时，f（x）＜g（x）；
当x=0时，f（x）=g（x）；
当x＞0时，f（x）＞g（x）．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间及极值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．