Question

5．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC+ccosB=$\sqrt{3}$R（R为△ABC外接圆半径）且a=2，b+c=4，则△ABC的面积为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理、和差公式可得A，再利用余弦定理及其已知可得bc，利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：∵bcosC+ccosB=$\sqrt{3}$R，由正弦定理可得：bcosC+ccosB=$\sqrt{3}$×$\frac{a}{2sinA}$，
∴sinBcosC+sinCcosB=$\sqrt{3}$×$\frac{sinA}{2sinA}$，化sin（B+C）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理可得：2²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$=（b+c）²-2bc-bc=4²-3bc，解得bc=4．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×4×sin\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．