题目内容

17．已知△ABC的三条边为a，b，c，满足a+b≥2c，求证：c≤60°．

分析 由条件利用余弦定理、基本不等式求得cosC≥$\frac{1}{2}$，可得C≤60°．

解答 证明：∵△ABC的三条边为a，b，c，满足a+b≥2c，∴cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{（a+b）}^{2}-2ab{-c}^{2}}{2ab}$≥$\frac{{4c}^{2}-2ab{-c}^{2}}{2ab}$，
当且仅当a=b=c时，取得等号，此时，cosC=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴cosC≥$\frac{1}{2}$，∴C≤60°．

点评 本题主要考查余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．

练习册系列答案
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