Question

18．证明：（Ⅰ）$sinαcosβ=\frac{1}{2}[sin（α+β）+sin（α-β）]$
（Ⅱ）$sinα+sinβ=2sin\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用两角和差的正弦函数公式化简等式的右边，从而证得等式成立．
（Ⅱ）由两角和与差的正弦函数，余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简等式右边，即可得证．

解答 （本题满分为8分）
证明：（Ⅰ）∵右边=$\frac{1}{2}$[sinαcosβ+cosαsinβ+（sinαcosβ-cosαsinβ）]=$\frac{1}{2}$×2sinαcosβ=sinαcosβ=左边，
∴$sinαcosβ=\frac{1}{2}[sin（α+β）+sin（α-β）]$成立．
（Ⅱ）右边=2（sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{β}{2}$+cos$\frac{α}{2}$sin$\frac{β}{2}$）（cos$\frac{α}{2}$cos$\frac{β}{2}$+sin$\frac{α}{2}$sin$\frac{β}{2}$）=2sin$\frac{α}{2}$cos²$\frac{β}{2}$cos$\frac{α}{2}$+2sin²$\frac{α}{2}$sin$\frac{β}{2}$cos$\frac{β}{2}$+2cos²$\frac{α}{2}$sin$\frac{β}{2}$cos$\frac{β}{2}$+2cos$\frac{α}{2}$sin²$\frac{β}{2}$sin$\frac{α}{2}$
=sinαcos²$\frac{β}{2}$+sin²$\frac{α}{2}$sinβ+cos²$\frac{α}{2}$sinβ+sin²$\frac{β}{2}$sinα
=sinα（cos²$\frac{β}{2}$+sin²$\frac{β}{2}$）+（sin²$\frac{α}{2}$+cos²$\frac{α}{2}$）sinβ
=sinα+sinβ
得证．（每小题4分）

点评 本题主要考查两角和差的正弦函数，余弦公式的应用，考查了同角三角函数基本关系式的应用，考查了转化思想，属于基础题．