Question

已知无穷整数数集A={a₁，a₂，a₃，…，a_n，…}（a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n＜…）具有性质P：对任意互不相等的正整数i，j，k，总有a_i+|a_k-a_j|∈A．
（Ⅰ）若{1，21}⊆A且5∉A，判断13是否属于A，并说明理由；
（Ⅱ）求证：a₁，a₂，a₃，…，a_n，…是等差数列；
（Ⅲ）已知x，y∈N且y＞x＞0，记 M是满足{0，x，y}⊆A的数集A中的一个，且是满足{0，x，y}⊆A的所有数集A的子集，求证：x，y互质是M=N的充要条件．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）13∉A，利用反证法即可判断；
（Ⅱ）a_k+a_k+2-a_k+1∈A且a_k＜a_k+a_k+2-a_k+1＜a_k+2，可得a_k+1=a_k+a_k+2-a_k+1，即可证明结论；
（Ⅲ）设a_i=0，a_j=x，a_k=y，i＜j＜k，则y=（k-i）d，x=（j-i）d，分充分性、必要性证明即可．

解答： （Ⅰ）解：13∉A．
设13∈A，则由{1，21}⊆A，性质P可得1+|13-9|=5∈A，与5∉A矛盾，∴13∉A；

（Ⅱ）证明：对任意k+2≤n，由性质P可得a_k+a_k+2-a_k+1∈A，
∵a_k＜a_k+1＜a_k+2，
∴a_k+a_k+2-a_k+1∈A且a_k＜a_k+a_k+2-a_k+1＜a_k+2，
∴a_k+1=a_k+a_k+2-a_k+1，
∴2a_k+1=a_k+a_k+2，
∴a₁，a₂，a₃，…，a_n是等差数列；

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，a₁，a₂，a₃，…，a_n公差为d，且d∈Z
设a_i=0，a_j=x，a_k=y，i＜j＜k，则y=（k-i）d，x=（j-i）d，
首先证明：x，y互质是M=N的充分条件．
∵x，y互质，∴d=1，
∵M是满足{0，x，y}⊆A的所有数集A的子集，
∴M=N；
其次证明x，y互质是M=N的必要条件．
假设x，y不互质，则x，y有大于1的因数p，
∴满足条件A={a₁，a₂，a₃，…，a_n，…}中的元素所构成的数列a₁，a₂，a₃，…，a_n，…的公差d可以取1，也可以取p，
此时A={0，p，2p，…，（n-1）p，…}满足条件，且={0，p，2p，…，（n-1）p，…}?N，
与M=N矛盾，
∴x，y互质，
∴x，y互质是M=N的充要条件．

点评：本题考查数列的应用，考查学生对新定义的理解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．