题目内容
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-1，a2=2，满足Sn+1=3Sn-2Sn-1-an-1+2（n≥2）（1）求证：数列{an-an-1}为等差数列；
（2）求证：$\frac{1}{{a}_{n}+1}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}+1}$+…$\frac{1}{{a}_{2}+1}$＜$\frac{3}{4}$．
分析 （1）将条件移项，整理可得（an+1-an）-（an-an-1）=2，即可证明数列{an-an-1}为等差数列；
（2）由（1）an-an-1=2n-1，利用叠加法可得an-a1=3+…+（2n-1）=（n-1）（n+1），再裂项求和，即可证明结论．
解答 证明：（1）∵Sn+1=3Sn-2Sn-1-an-1+2（n≥2）
∴Sn+1-Sn=2（Sn-Sn-1）-an-1+2
∴an+1=2an-an-1+2
∴（an+1-an）-（an-an-1）=2，
∵a1=-1，a2=2，
∴a2-a1=3，
∴数列{an-an-1}是以3为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1）an-an-1=2n-1，
利用叠加法可得an-a1=3+…+（2n-1）=（n-1）（n+1），
∴an+1=（n-1）（n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n}$+…+1-$\frac{1}{3}$）＜$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{4}$．
点评 本题考查数列的求和，考查等差数列的证明，考查裂项法求和，正确证明数列是等差数列是关键．
练习册系列答案
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