Question

【题目】已知抛物线过点，经过点的直线与抛物线交于不同的两点，直线与直线交于点，经过点且与直线垂直的直线交轴于点.

（1）求抛物线的方程和焦点的坐标；

（2）判断直线与直线的位置关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）抛物线方程为，焦点坐标为（2）；详见解析

【解析】

（1）由抛物线过点，代入抛物线解析式计算可得；

（2）设，设直线的方程为，联立方程消元，列出韦达定理，表示出、的坐标，再对和分类讨论计算可得；

解：（1）因为抛物线过点，

所以

即抛物线方程为，焦点坐标为

（2）直线.

设，设直线的方程为

联立方程，消元得，

所以，

显然，

直线的方程为，令，则，则

因为，所以

直线的方程为

令，则，则

当时，直线的斜率不存在，，可知，

直线的斜率不存在，则

当时，，

则，综上所述，.