题目内容
【题目】在平面直角坐标系
内，有一动点
到直线
的距离和到点
的距离比值是
（1）求动点的轨迹
的方程；
（2）已知点
(异于点
)为曲线上一个动点，过点
作直线
的垂线
交曲线于点
，
，求
的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）直接根据题意设点，列式，化简，即可求出动点
的轨迹
的方程；
（2）先考虑特殊情况，当直线
的斜率为
时，可计算出
，再考虑一般情况，
当直线的斜率不为时，设直线的方程为
，与椭圆的方程联立求出点的坐标得出
的长，同理，将直线
的方程与椭圆的方程联立求出
，继而得到
的表达式，最后根据函数知识即可求出的最小值．
（1）设动点的坐标为
，根据题意得
，再考虑一般情况，当
化简得曲线的方程为：．
（2）当直线的斜率为时，
为椭圆的短轴，则
.
所以
当直线的斜率不为时，设直线的方程为，则直线的方程为
由
得
.
设
所以
，
故
，得
设
，由椭圆对称性可知
.
由
解得
，所以
所以
设
，则
，令
，则
所以
是一个增函数，所以
综上，的最小值是.
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