题目内容

【题目】已知椭圆 ： （ ）的离心率 ，直线 被以椭圆 的短轴为直径的圆截得的弦长为 .

（1）求椭圆 的方程；

（2）过点 的直线 交椭圆于 ， 两个不同的点，且 ，求 的取值范围.

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：

（1）由直线与圆的位置关系可得.由椭圆的离心率可得，则椭圆的方程为.

（2）当直线的斜率为时， ，当直线的斜率不为时，设直线在y轴上的截距式方程为， ， ，联立方程可得，满足题意时，结合韦达定理可知，据此可知.综上可得.

试题解析：

（1）因为原点到直线的距离为，

所以（），解得.

又，得

所以椭圆的方程为.

（2）当直线的斜率为时， ，

当直线的斜率不为时，设直线： ， ， ，

联立方程组，得，

由，得，

所以，

，

由，得，所以.

综上可得： ，即.

练习册系列答案
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∴，

∴，经检验知，满足题意．

（2）由题意可知： ，

设，则的中点为，

∵的中点在轴上，∴，

∴．

【题型】解答题
【结束】
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（2）求证：平面平面；

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