Question

【题目】已知：函数，其中．

（Ⅰ）若是的极值点，求的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）

【解析】

试题（Ⅰ）由若是的极值点，可得，对求导，，将代入就可求出；（Ⅱ）根据，进行讨论，首先讨论时，．故的单调增区间是；单调减区间是，再讨论时，令，得，或，再比较0与的大小关系，依次分，，，几种情况进行讨论，从而得到函数的单调区间．（Ⅲ）由（Ⅱ）知时，在上单调递增，由，知不合题意．当时，在的最大值是，由，知不合题意．

当时，在单调递减，可得在上的最大值是，符合题意．本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查分类讨论思想在解题中应用．

试题解析：（Ⅰ）．依题意，令，解得．

经检验，时，符合题意．

（Ⅱ）① 当时，．

故的单调增区间是；单调减区间是．

② 当时，令，得，或．

当时，与的情况如下：

	↘		↗		↘

所以，的单调增区间是；单调减区间是和

当时，的单调减区间是．

当时，，与的情况如下：

	↘		↗		↘

所以，的单调增区间是；单调减区间是和．

③ 当时，的单调增区间是；单调减区间是．

综上，当时，的增区间是，减区间是；

当时，的增区间是，减区间是和；

当时，的减区间是；

当时，的增区间是；减区间是和．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知时，在上单调递增，由，知不合题意．

当时，在的最大值是，

由，知不合题意．

当时，在单调递减，

可得在上的最大值是，符合题意．

所以，在上的最大值是时，的取值范围是．