Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，是的中点，.

（1）求证：平面；

（2）若异面直线和所成角的余弦值为，求四棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）3

【解析】

（1）连接，交于点，连结，利用中位线定理证明平面。

（2）通过平移，表示出异面直线和所成角，结合正弦定理及三角形面积公式求得。所以可得解。

解法一：

（1）连结，交于点，连结.

在直三棱柱中，四边形为平行四边形，

所以为的中点，

又为的中点，所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）因为，为锐角，

所以为异面直线和所成的角，

所以由条件知，

在中，，，

，，

.

又平面，平面，，

所以，

，

，

所以.

解法二：（1）证明：取的中点，连结，，，

在直三棱柱中，

四边形为平行四边形，又是的中点，

所以，所以四边形是平行四边形，

所以，又平面，平面，

所以平面，

因为，所以四边形是平行四边形，

所以，又平面，平面，

所以平面，

又，平面，

所以平面平面，

又平面，所以平面.

（2）过作于，

因为平面，平面，所以，

又，平面，所以平面.

因为，为锐角，

所以为异面直线和所成的角，

所以由条件知，

在中，，，

，，

，

又，，，

所以.