题目内容
【题目】如图所示的多面体
中，四边形
是边长为2的正方形，
平面.
(1)设BD与AC的交点为O，求证:
平面
；
(2)求二面角
的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；(2) 
．
【解析】
（1）根据题意，推导出
面
，
，
，结合线面垂直的判定定理证得
面
；
（2）以
为原点，
，
，
方向建立空间直角坐标系，利用面的法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值，之后应用平方关系求得正弦值，得到结果.
(1) 证明：由题意可知：面，
从而
，
，又
为
中点，
，在
中，
，
，
又
，
面．
（2）面，且
，
如图以为原点，，，方向建立空间直角坐标系，
从而
，0，
，
，0，
，
，2，，
，2，
，
，1，
由（1）可知
，1，
是面
的一个法向量，
设
，
，
为面
的一个法向量，
由
，令
得
，
，，
设
为二面角
的平面角，
则
，
．
二面角的正弦值为．
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