Question

【题目】设函数.

（1）若是的极大值点，求的取值范围；

（2）当，时，方程（其中）有唯一实数解，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由题意，求得函数的导数得到，分类讨论得到函数的单调性和极值，即可求解实数的取值范围；

（2）因为方程有唯一实数解，即有唯一实数解，设，利用导数，令，得，由此入手即可求解实数m的值．

（1）由题意，函数的定义域为，则导数为

由，得，∴

①若，由，得.

当时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减.

所以是的极大值点

②若，由，得，或.

因为是的极大值点，所以，解得

综合①②：的取值范围是

（2）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解

设，则，

令，即.

因为，，所以（舍去），

当时，，在上单调递减，

当时，，在单调递增

当时，，取最小值

则，即，

所以，因为，所以（*）

设函数，

因为当时，是增函数，所以至多有一解

因为，所以方程（*）的解为，即，解得