Question

【题目】已知函数，

（1）已知为自然对数的底数，求函数在处的切线方程；

（2）当时，方程有唯一实数根，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）求得函数的导数，得到，，利用直线的点斜式方程，即可求解切线的方程；

（2）当时，方程，即，令，求得，令，分类讨论利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．

（1）由题意，函数，定义域，

则，所以，

函数在处的切线方程为，整理得，

即函数在处的切线方程．

（2）当时，方程，即，

令，有，，

令，

因为，所以在单调递减，

①当即时， ，即在单调递减，所以，方程无实根．

②当时，即 时，存在，使得时，，即单调递增； 时，，即单调递减； 因此，

取，则，

令，，

由，则，，所以，即在时单调递减，

所以．

故存在，．

综上，的取值范围为.