Question

【题目】设是不小于3的正整数，集合，对于集合中任意两个元素，.

定义1：.

定义2：若，则称，互为相反元素，记作，或.

（Ⅰ）若，，，试写出，，以及的值；

（Ⅱ）若，证明：；

（Ⅲ）设是小于的正奇数，至少含有两个元素的集合，且对于集合中任意两个不相同的元素，，都有，试求集合中元素个数的所有可能值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2.

【解析】

（Ⅰ）根据定义求，，以及的值；（Ⅱ）设，，根据定义求，再根据定义化简，即得结果，（Ⅲ）先假设集合有三个不相同的元素，，，再根据得恰有个1，与个0，同理可得恰有个1，与个0，调整次序对应相减可得，最后根据为奇数，得到矛盾，否定假设，即得结果.

（Ⅰ），，

（Ⅱ）设，，，

由，可得，

所以，

当且仅当，，即，时上式“=”成立

由题意可知

即

所以，

（Ⅲ）解法1：假设，，为集合中的三个不相同的元素.

则

即

又由题意可知或1，

恰有个1，与个0

设其中个等于1的项依次为

个等于0的项依次为

由题意可知

所以，同理

所以

即

因为

由（2）可知

因为

所以，

设，由题意可知

所以，得与为奇数矛盾

所以假设不成立，即集合中至多有两个元素

当时符合题意

所以集合中元素的个数只可能是2

解法2：假设，，为集合中的三个不相同的元素.

则

即

又由题意可知或1，

恰有个1，与个0

设其中个等于1的项依次为

个等于0的项依次为

由题意可知

所以①

同理②

①—②得

又因为为奇数

与矛盾

所以假设不成立，即集合中至多有两个元素

当时符合题意

所以集合中元素的个数只可能是2