Question

【题目】如图，椭圆C1： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．
（Ⅰ）求C1 ， C2的方程；
（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．
（i）证明：MD⊥ME；
（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1 ， S2 ． 问：是否存在直线l，使得 = ？请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题得e= ，从而a=2b，又2 =a，解得a=2，b=1， 故C1 ， C2的方程分别为 ，y=x2﹣1．
（Ⅱ）（i）由题得，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx，
由 得x2﹣kx﹣1=0．
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则x1 ， x2是上述方程的两个实根，
于是x1+x2=k，x1x2=﹣1，又点M的坐标为（0，﹣1），
所以kMAkMB= = = = =﹣1．
故MA⊥MB，即MD⊥ME．
（ii）设直线MA的斜率为k1 ， 则直线MA的方程为y=k1x﹣1．
由 ，解得 或 ．
则点A的坐标为（k1 ， k12﹣1）．
又直线MB的斜率为﹣ ，同理可得点B的坐标为（﹣ ， ﹣1）．
于是s1= |MA||MB|= |k1| |﹣ |= ．
由 得（1+4k12）x2﹣8k1x=0．
解得 或， ，则点D的坐标为（ ， ）．
又直线ME的斜率为﹣ ．同理可得点E的坐标为（ ， ）．
于是s2= |MD||ME|= ．
故 = ，解得k12=4或k12= ．
又由点A，B的坐标得，k= =k1﹣ ．所以k=± ．
故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y= x和y=﹣ x
【解析】（Ⅰ）先利用离心率得到一个关于参数的方程，再利用x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长得另一个方程，两个方程联立即可求出参数进而求出C1 ， C2的方程；（Ⅱ）（i）把直线l的方程与抛物线方程联立可得关于点A、B坐标的等量关系，再代入求出kMAkMB=﹣1，即可证明：MD⊥ME；（ii）先把直线MA的方程与抛物线方程联立可得点A的坐标，再利用弦长公式求出|MA|，同样的方法求出|MB|进而求出S1 ， 同理可求S2 ． 再代入已知就可知道是否存在直线l满足题中条件了．