Question

19．已知函数f（x）=cos²x+sinx-1$（{0≤x≤\frac{π}{2}}）$，则f（x）值域是$[{0，\frac{1}{4}}]$，f（x）的单调递增区间是$[{0，\frac{π}{6}}]$．

Answer 1

分析 由三角函数的诱导公式化简f（x）=-sin²x+sinx，然后利用换元法再结合二次函数的性质，求得函数的最值以及单调区间．

解答 解：f（x）=cos²x+sinx-1=（1-sin²x）+sinx-1=-sin²x+sinx，
设sinx=t，t∈[0，1]，
∴f（x）=-t²+t=-t（t-1），当t=$\frac{1}{2}$，即sinx=$\frac{1}{2}$，x=$\frac{π}{6}$时函数f（x）取得最大值为$\frac{1}{4}$，
当t=0，即sinx=0时，函数f（x）取得最小值为0．
∴f（x）值域是$[{0，\frac{1}{4}}]$，f（x）的单调递增区间是$[{0，\frac{π}{6}}]$．
故答案为：$[{0，\frac{1}{4}}]$，$[{0，\frac{π}{6}}]$．

点评 本题考查正弦函数的值域，考查复合函数的单调性，属于中档题．