Question

设M（cos

π

3

x+cos

π

4

x，sin

π

3

x+sin

π

4

x）（x∈R）为坐标平面上一点，记f（x）=|

OM

|2-2，且f（x）的图象与射线y=0（x≥0）交点的横坐标由小到大依次组成数列{a_n}，则|a_n+3-a_n|等于（　　）

• A、12
• B、24
• C、36
• D、484

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列与向量的综合

专题：等差数列与等比数列,三角函数的求值

分析：先求出f（x）的函数表达式，在令f（x）=0，所求出的x的解即为与x轴的交点，在选出其非负值，即为{a_n}的项．

解答： 解：f（x）=（cos

π

3

x+cos

π

4

x）²+（sin

π

3

x+sin

π

4

x）²-2
=2cos（

π

12

x）
∴f（x）与x轴的非负半轴的交点为：

π

12

x=kπ+

π

2

，k∈{0，1，2，3，…}
∴x=6+12k，k∈{0，1，2，3，…}
∴交点的横坐标由小到大依次组成数列{a_n}的通项公式为：
a_n=6+12（n-1），n∈{0，1，2，3，…}
∴|a_n+3-a_n|=12×3=36
故答案为：36

点评：本题考察了函数与数列的结合，一般解题思路是先根据函数找出数列的通项公式，其要注意的点就是数列的项数是非负的，注意区别函数的定义域．