题目内容
3．已知在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=sinθ-cosθ}\\{y=sin2θ}\end{array}\right.$（θ为参数）；以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$（θ为常数）．（1）求曲线C1的普通方程及C2的直角坐标方程；
（2）设曲线C2与坐标轴分别交于A、B两点，P为曲线C1上的动点求△PAB面积的范围．
分析 （1）将C1参数方程的第一式平方和第二式相加消去参数即可得出普通方程，将C2的极坐标方程展开，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出直角坐标方程；
（2）求出|AB|，求出P到直线C2的最短距离即可得出三角形面积的最小值．
解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=sinθ-cosθ}\\{y=sin2θ}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=1-2sinθ}\\{y=sin2θ}\end{array}\right.$，
∴曲线C1的普通方程为x2+y=1．即y=-x2+1．
∵ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，∴ρcosθ+ρsinθ=2，
∴曲线C2的直角坐标方程为x+y-2=0．
（2）A（2，0），B（0，2）．∴|AB|=2$\sqrt{2}$．
设曲线C1：y=-x2+1的斜率对于-1的切线方程为y=-x+b，
切点为（x0，y0），则$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}_{0}=-1}\\{{y}_{0}=-{x}_{0}+b}\\{{y}_{0}=-{{x}_{0}}^{2}+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{1}{2}}\\{{y}_{0}=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$．
∴P到直线C2的最小距离d=$\frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$．
∴△PAB的最小面积为Smin=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{8}$=$\frac{3}{4}$．
∴△PAB面积的范围是：[$\frac{3}{4}$，+∞）．
点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 2 | D． | $\sqrt{5}$ |