Question

18．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$成等差数列，则cosB+sinB的取值范围为（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根据等差数列的性质以及余弦定理进行化简，结合基本不等式利用换元法进行转化，求出B的取值范围，结合辅助角公式进行化简即可．

解答 解：∵$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$成等差数列，
∴$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{a+c}{ac}$，即b=$\frac{2ac}{a+c}$
cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-（\frac{2ac}{a+c}）^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$）-$\frac{2ac}{（a+c）^{2}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$）-$\frac{2}{（\frac{a}{c}+\frac{c}{a}）+2}$，
令t=$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$，则t≥2，
则cosB=$\frac{1}{2}$t-$\frac{2}{t+2}$在t≥2时，为增函数，
∴cosB≥$\frac{1}{2}×2-\frac{2}{2+2}$=1-$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
则0＜B≤$\frac{π}{3}$，cosB+sinB=$\sqrt{2}$cos（B+$\frac{π}{4}$），
∵0＜B≤$\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{4}$＜B+$\frac{π}{4}$≤$\frac{7π}{12}$，
则$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cos（B+$\frac{π}{4}$）≤1，
则1＜$\sqrt{2}$cos（B+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
故答案为：（1，$\sqrt{2}$]

点评 本题主要考查三角函数的化简和求解，根据等差数列以及余弦定理，基本不等式的应用以及三角函数的辅助角公式进行化简是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．