Question

（本小题满分14分）
在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，
．

（Ⅰ）若点在线段上，且满足,求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析；（3）

第一问中利用线面平行的判定定理，先得到线线平行，根据已知条件得到
过作于，连结，则则，又，所以.
又且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以.
所以得到线面平行。
第二问中，通过以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
利用平面的法向量的夹角与二面角的大小相等或者互补的结论，借助与代数的手段求解得到二面角的大小。
证明：（Ⅰ）过作于，连结，

则，又，所以.
又且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以.
又平面，平面，
所以平面.           ……4分
（Ⅱ）因为平面，，故
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知可得
.
显然.
则，
所以.
即，故平面.
（Ⅲ）因为，所以与确定平面，
由已知得，，.               ……9分
因为平面，所以.
由已知可得且，
所以平面，故是平面的一个法向量.
设平面的一个法向量是.
由得   即
令，则.
所以.
由题意知二面角锐角，
故二面角的余弦值为.                            ……14分