Question

已知关于x的三角方程sin（x+

π

4

）-sin2x=a有实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二倍角的正弦

专题：三角函数的求值

分析：将原式化简为：sinxcos

π

4

+cosxsin

π

4

-2sinxcosx=a，然后换元，设t=sinx+cosx，将问题转化成方程2t2-

2

t+2a-2=0在区间[-

2

，

2

]上有实根，然后利用一元二次方程根的分布求解a的取值范围．

解答： 解：由sin（x+

π

4

）-sin2x=a，
得sinxcos

π

4

+cosxsin

π

4

-2sinxcosx=a，
即

2

2

(sinx+cosx)-2sinxcosx=a，
设t=sinx+cosx，t∈[-

2

，

2

]，
则2sinxcosx=t²-1，代入

2

2

(sinx+cosx)-2sinxcosx=a，得
2t2-

2

t+2a-2=0，
∴关于x的方程sin（x+

π

4

）-sin2x=a有实数解，
等价于方程2t2-

2

t+2a-2=0在区间[-

2

，

2

]上有实根，
设函数f（x）=2t²-

2

tat+2a-2，
①当方程2t2-

2

t+2a-2=0在区间[-

2

，

2

]上有一个实根时，
即f（-

2

）•f（

2

）≤0，
∴[2×(-

2

)2-

2

×(-

2

)+2a-2] [2×(

2

)2-

2

×

2

+2a-2]≤0．
解得：-2≤a≤0；
②当方程2t2-

2

t+2a-2=0在区间[-

2

，

2

]上有2个实根时，

(- 2 )2-8(2a-2)≥0 f(- 2 )=2×(- 2 )2- 2 ×(- 2 )+2a-2≥0 f( 2 )=2×( 2 )2- 2 × 2 +2a-2≥0

，
解得：0≤a≤

9

8

．
∴a的取值范围为[-2，

9

8

]．

点评：本题重点考查了三角公式、二次方程等知识，属于中档题，考查分类讨论思想的灵活运用．