题目内容
已知向量
=（cosωx，1），
=（
，sinωx）（ω＞0），函数f（x）=
•
，且f（x）图象上一个最高点为P（
，2），与P最近的一个最低点的坐标为（
，-2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设a为常数，判断方程f（x）=a在区间[0，
]上的解的个数；
（3）在锐角△ABC中，若cos（
-B）=1，求f（A）的取值范围．
| m |
| n |
| 3 |
| m |
| n |
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设a为常数，判断方程f（x）=a在区间[0，
| π |
| 2 |
（3）在锐角△ABC中，若cos（
| π |
| 3 |
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）利用两个向量的数量积公式、两角和的正弦公式求得函数f（x）=2sin（ωx+
），根据周期求出ω，可得
f（x）的值域．
（2）求出f（x）=2sin（2x+
）的值域，分类讨论a的范围，可得方程f（x）=a在区间[0，
]上的解的个数．
（3）由条件求得
＜A＜
，利用正弦函数的定义域和值域求得f（A）的范围．
| π |
| 3 |
f（x）的值域．
（2）求出f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
（3）由条件求得
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
解答：
解：（1）函数f（x）=
•
=
cosωx+sinωx
=2sin（ωx+
），
再根据
=
（
-
），∴T=π=
，∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+
）．
（2）∵f（x）=2sin（2x+
），x∈[0，
]，
∴f（x）∈[-
，2]，如图所示：
故由图象知，①当a=2或-
≤a＜
时，
函数y=f（x）的图象和直线y=a有一个交点，
方程f（x）=a 有唯一解，
②当
≤a＜2时，函数y=f（x）的图象和直线y=a有两个交点，方程f（x）=a 有两解；
当a＞2 或a＜-
时，函数y=f（x）的图象和直线y=a没有交点，方程f（x）=a 没有解．
（3）∵B=
，A+B＞
，0＜A＜
，∴
＜A＜
，
∴2A+
∈（
，
），∴f（A）=2sin（2A+
）∈（-
，
），
即f（A）的范围为 （-
，
）．
解：（1）函数f（x）=| m |
| n |
| 3 |
=2sin（ωx+
| π |
| 3 |
再根据
| T |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 7π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| 2π |
| ω |
∴f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
（2）∵f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
∴f（x）∈[-
| 3 |
故由图象知，①当a=2或-
| 3 |
| 3 |
函数y=f（x）的图象和直线y=a有一个交点，
方程f（x）=a 有唯一解，
②当
| 3 |
当a＞2 或a＜-
| 3 |
（3）∵B=
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴2A+
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
即f（A）的范围为 （-
| 3 |
| 3 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，方程的解得个数判断，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
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