Question

在△ABC中，角A、B、C分别对应边a，b，c，B（-1，0），C（1，0），求满足sinC-sinB=

1

2

sinA，顶点A的轨迹．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由已知得A点的轨迹为以BC焦点的双曲线的一支且除去顶点，由此能求出A的轨迹方程．

解答： 解：∵△ABC中，

AB

sinC

=

BC

sinA

=

AC

sinB

，
∵sinC-sinB=

1

2

sinA，
∴|AB|-|AC|=

1

2

|BC|=1＜|BC|=2，
∴顶点A点的轨迹为以BC焦点的双曲线的一支且除去顶点，
∴设其方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
由已知得2a=1，c=1，解得a=

1

2

，b²=

3

4

，
∴顶点A的轨迹方程为：

x2

1 4

-

y2

3 4

=1（x＞

1

2

）．
是以BC焦点的双曲线的右一支且除去顶点．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用，属于中档题．