Question

3．设直线y=kx+1与圆x²+y²+2x-my=0相交于A，B两点，若点A，B关于直线l：x+y=0对称，则|AB|=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 直线y=kx+1与圆x²+y²+2x-my=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，则直线x+y=0过圆心且与直线y=kx+1垂直，可求出k、m，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求解|MN|．

解答 解：由题意可知，直线y=-x过圆心，且与直线y=kx+1垂直，
∴k=1，
圆x²+y²+2x-my=0的圆心坐标（-1，$\frac{m}{2}$）在直线x+y=0上，
∴-1$+\frac{m}{2}=0$，解得m=2，圆心坐标（-1，1），
x²+y²+2x-2y=0的半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+（-2）^{2}-4×0}=\sqrt{2}$，
圆心到直线y=x+1的距离为$\frac{|-1-1+1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因而弦长是$2\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查圆的一般方程，直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是中档题．