Question

20．已知在数列{a_n}中，a₁=-60，a_n+1=a_n+4，n∈N^*，令b_n=|a_n|，数列{a_n}的前n项的和为S_n，数列{b_n}的前n项的和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 a₁=-60，a_n+1=a_n+4，n∈N^*，即a_n+1-a_n=4，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得：a_n．S_n．由a_n≥0，解得n≥16．当n≤16时，a_n＜0，b_n=|a_n|=-a_n．因此T_n=-S_n．当n≥17时，T_n=-（a₁+a₂+…+a₁₆）+a₁₇+…+a_n=-2S₁₆+S_n．

解答 解：∵a₁=-60，a_n+1=a_n+4，n∈N^*，即a_n+1-a_n=4，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为-60，公差为4．
∴a_n=-60+4（n-1）=4n-64．
S_n=$\frac{n（-60+4n-64）}{2}$=2n²-62n．
由a_n≥0，解得n≥16．
∴当n≤16时，a_n＜0，b_n=|a_n|=-a_n．
T_n=-（a₁+a₂+…+a_n）=-S_n=-2n²+62n．
当n≥17时，T_n=-（a₁+a₂+…+a₁₆）+a₁₇+…+a_n
=-2S₁₆+S_n
=2n²-62n+960．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2{n}^{2}+62n，n≤16}\\{2{n}^{2}-62n+960，n≥17}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、含绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．