Question

12．求函数y=x²+2x+3在区间[m，m+1]上的最值．

Answer 1

分析 分类讨论，研究函数的单调性，即可求函数y=x²+2x+3在区间[m，m+1]上的最值．

解答 解：函数y=x²+2x+3的图象是开口朝上，且以直线x=-1为对称轴的抛物线，
当m+1≤-1，即m≤-2时，函数y=x²+2x+3在区间[m，m+1]上单调递减，此时当x=m时，函数取最大值m²+2m+3，当x=m+1时，函数取最小值m²+4m+6，
当$\frac{m+m+1}{2}$≤-1＜m+1，即-2＜m≤-$\frac{3}{2}$时，函数y=x²+2x+3在区间[m，-1]上单调递减，在区间[-1，m+1]上单调递增，此时当x=m时，函数取最大值m²+2m+3，当x=-1时，函数取最小值2，
当m＜-1＜$\frac{m+m+1}{2}$，即-$\frac{3}{2}$＜m＜-1时，函数y=x²+2x+3在区间[m，-1]上单调递减，在区间[-1，m+1]上单调递增，此时当x=m+1时，函数取最大值m²+4m+6，当x=-1时，函数取最小值2，
当m≥-1时，函数y=x²+2x+3在区间[m，m+1]上单调递增，此时当x=m+1时，函数取最大值m²+4m+6，当x=m时，函数取最小值m²+2m+3，

点评 本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数的单调性，正确分类是关键．