Question

已知sinα=

4

5

，α∈（

π

2

，

3π

2

）．
（1）求sin2α-cos²

α

2

的值；
（2）求函数f（x）=

5

6

cosαsin2x-

1

2

cos2x的最小正周期和单调递增区间．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：（1）由sinα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，原式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值；
（2）把cosα的值代入f（x）解析式，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出最小正周期；利用正弦函数的单调性求出f（x）的递增区间即可．

解答： 解：（1）∵sinα=

4

5

＞0，
∴α∈（

π

2

，π），
∴cosα=-

1-sin2α

=-

3

5

，
则原式=2sinαcosα-

1+cosα

2

=2×

4

5

×（-

3

5

）-

1- 3 5

2

=-

24

25

-

1

5

=-

29

25

；
（2）把cosα=-

3

5

代入得：f（x）=

5

6

×（-

3

5

）sin2x-

1

2

cos2x=-

1

2

（sin2x+cos2x）=-

2

2

sin（2x+

π

4

），
∵ω=2，∴T=π，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，k∈Z．

点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．