Question

12．如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F₁、F₂，|AB|=4，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，直线y=kx+m（k＞0）交椭圆于C、D两点，与线段F₁F₂及椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且|CM|=|DN|．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）若m＞0，设直线AD、BC的斜率分别为k₁、k₂，求$\frac{k_1}{k_2}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$|{AB}|=4，|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{3}$，求出a，c，然后求解椭圆的离心率．
（Ⅱ）设D（x₁，y₁），C（x₂，y₂）通过$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.$，结合△＞0推出m²＜4k²+1，利用韦达定理|CM|=|DN|．求出直线的斜率，然后表示出$\frac{k_1}{k_2}$，然后求解它的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由$|{AB}|=4，|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{3}$，可知$a=2，c=\sqrt{3}$即椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…..…．（2分）
离心率为$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…．…．（4分）
（Ⅱ）设D（x₁，y₁），C（x₂，y₂）易知$A（{-2，0}），B（{2，0}），N（{0，m}），M（{-\frac{m}{k}，0}）$…．（5分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.$消去y整理得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由△＞0⇒4k²-m²+1＞0即m²＜4k²+1，${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$…（6分）
且|CM|=|DN|即$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{ND}$可知${x_1}+{x_2}=-\frac{m}{k}$，即$\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}=-\frac{m}{k}$，解得$k=\frac{1}{2}$…．（8分）
${（{\frac{k_1}{k_2}}）^2}=\frac{{y_1^2{{（{{x_2}-2}）}^2}}}{{y_2^2{{（{{x_1}+2}）}^2}}}=\frac{{\frac{4-x_1^2}{4}{{（{{x_2}-2}）}^2}}}{{\frac{4-x_2^2}{4}{{（{{x_1}+2}）}^2}}}=\frac{{（{2-{x_1}}）（{2-{x_2}}）}}{{（{2+{x_1}}）（{2+{x_2}}）}}=\frac{{4-2（{{x_1}+{x_2}}）+{x_1}{x_2}}}{{4+2（{{x_1}+{x_2}}）+{x_1}{x_2}}}={（{\frac{m+1}{m-1}}）^2}$，
由题知，点M、F₁的横坐标${x_M}≥{x_{F_1}}$，有$-2m≥-\sqrt{3}$，
易知$m∈（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$满足m²＜2，
即$\frac{k_1}{k_2}=-\frac{m+1}{m-1}=-1+\frac{2}{1-m}$，则$\frac{k_1}{k_2}∈（{1，7+4\sqrt{3}}]$…..（12分）

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．