题目内容
18．已知$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow{b}$=（-1，2），且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（-5，+∞）．分析 可求出向量$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}$的坐标，根据$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}$的夹角为锐角便可得出$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}）＞0$，从而进行向量数量积的坐标运算便可得出关于λ的不等式，解不等式即可得出实数λ的取值范围．
解答 解：$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}=（3-λ，4+2λ）$；
∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}$的夹角为锐角；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}|}＞0$；
∴$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}）=3（3-λ）+4（4+2λ）＞0$；
解得λ＞-5；
∴实数λ的取值范围是（-5，+∞）．
故答案为：（-5，+∞）．
点评 考查向量坐标的加法和数乘运算，向量夹角的余弦公式，知道锐角的余弦值大于0，以及向量数量积的坐标运算．
练习册系列答案
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9．若等比数列{a${\;}_{{n}_{\;}}$}的公比为q（q≠0），则关于x、y的二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}x+{a}_{3}y=3}\\{{a}_{2}x+{a}_{4}y=-2}\end{array}\right.$的解的情况的下列说法中正确的是（ ）
| A． | 对任意q∈R（q≠0），方程组都有唯一解 | |
| B． | 对任意q∈R（q≠0），方程组都无解 | |
| C． | 当且仅当q=-$\frac{2}{3}$时，方程组有无穷多解 | |
| D． | 当且仅当q=-$\frac{2}{3}$时，方程组无解 |