Question

【题目】已知：曲线表示双曲线；：曲线表示焦点在轴上的椭圆.

（1）分别求出条件中的实数的取值范围；

（2）甲同学认为“是的充分条件”，乙同学认为“是的必要条件”，请判断两位同学的说法是否正确，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）满足条件的实数的取值范围是；满足条件的实数的取值范围是；（2）甲同学的判断正确，乙同学的判断不正确，理由详见解析.

【解析】

（1）根据双曲线的定义有,根据椭圆焦点在轴上有,分别解不等式,求交集即可.

(2)由(1)得出是中的取值范围,由“小范围可以推出大范围,大范围不能推出小范围”即可得出结论.

解：（1）若曲线表示双曲线,

则,得;

因此满足条件的实数的取值范围是.

若曲线表示焦点在轴上的椭圆,

需,

得,得或.

因此满足条件的实数的取值范围是.

（2）甲同学的判断正确,乙同学的判断不正确.

由（1）得,

因为,

所以是的充分条件,

因为,

所以不是的必要条件.

故：甲同学的判断正确,乙同学的判断不正确.