Question

设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）图象的相邻的对称中心之间距离为

π

2

，且图象关于（

π

8

，0）对称．
（1）求ω、φ的值；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）在[0，

π

2

]上的最值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由周期求得ω，根据图象的对称中心求得φ的值；
（2）由（1）可得函数的解析式，令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得单调递增区间；
（3）先求得2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，即可求得sin（2x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，即可求得f（x）在[0，

π

2

]上的最值．

解答： 解：（1）由题意可得函数的最小正周期为 T=

2π

ω

=2×

π

2

=π，∴ω=2．
再根据

π

8

×2+φ=kπ，-π＜φ＜0，k∈z，可得φ=-

π

4

，
（2）由（1）可得：f（x）=sin（2x-

π

4

），
∴令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z
故f（x）的单调递增区间为：[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z
（3）∵x∈[0，

π

2

]
∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]
∴sin（2x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴f（x）在[0，

π

2

]上的最大值是1，最小值是-

2

2

．

点评：本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．