Question

已知等差数列{a_n}中，a₁=1，其前n项和S_n满足

Sn+4+Sn

2

=S_n+2+4（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据已知条件采用赋值法求出数列的公差d，进一步求出数列的通项公式．
（2）根据（1）的结论，进一步求出新数列的通项公式，最后采用裂项相消法求出数列的前n项和．

解答： 解：（1）已知等差数列{a_n}中，其前n项和S_n满足

Sn+4+Sn

2

=S_n+2+4（n∈N₊）．
令n=1，则：S₅+S₁=2S₃+8
利用等差数列的前n项和公式，设公差为d，a₁=1，
则得到：5a1+

5×4

2

d+a1=2(3a1+

3×2

2

d）+8，
解得：d=2，
所以：a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）由（1）a_n=2n-1，
则：bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

点评：本题考查的知识要点：赋值法在求数列通项公式中的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题型．