Question

17．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C：x²+y²-（6-2m）x-4my+5m²-6m=0，直线l经过点（-1，1），若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，则直线l的方程为2x+y+1=0．

Answer 1

分析 先将圆的方程化为标准式，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线m上，若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，可得直线l与圆心所在直线平行，即可得出结论．

解答 解：将圆C：x²+y²-（6-2m）x-4my+5m²-6m=0化为标准式得
（x-（3-m））²+（y-2m）²=9
∴圆心C（3-m，2m），半径r=3，
令x=3-m，y=2m，消去m得2x+y-6=0，
∴圆心在直线2x+y-6=0上，
又∵直线l经过点（-1，1），
若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，
∴直线l与圆心所在直线平行，
∴设l方程为2x+y+C=0，将（-1，1）代入得C=1，
∴直线l的方程为2x+y+1=0．
故答案为：2x+y+1=0．

点评 本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．