Question

【题目】已知函数，且.

（1）求a；

（2）设函数的导函数为，在函数的图像上取定两点，记直线AB的斜率为k，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）先求导数，分析当时与题设矛盾；当时，研究其单调性并求出最小值，由题可知，，构造函数，求导求单调性可得最大值，由此得到；

（2）由（1）知时，，令，则，变形为，即，又，，，从而得证.

（1），

当时，，则单调递增，又，则对一切，这与题设矛盾；

当时，令得.

当时，单调递减，当时，，单调递增，

故当时，取最小值.

于是对一切恒成立，当且仅当.①

令，则.

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

故当时，取最大值，因此，当且仅当时，①式成立.

综上所述，；

（2）由（1）知，

当单调递增，

当单调递减，

又由于，所以时，，

令，则，变形为，

所以，

又，

则，

所以.