题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若存在极小值,求实数
的取值范围;
(2)设是
的极小值点,且
,证明:
.
【答案】(1) .(2)见解析.
【解析】
(1)先求得导函数,根据定义域为,可构造函数
,通过求导及分类讨论,即可求得
的取值范围。
(2)由(1)令,通过分离参数得
,同时求对数,根据函数
,可得
。构造函数
及
,由导数即可判断
的单调情况,进而求得
的最小值,结合
即可证明不等式成立。
(1).
令,
则,
所以在
上是增函数.
又因为当时,
;
当时,
.
所以,当时,
,
,函数
在区间
上是增函数,不存在极值点;
当时,
的值域为
,
必存在使
.
所以当时,
,
,
单调递减;
当时,
,
,
单调递增;
所以存在极小值点.
综上可知实数的取值范围是
.
(2)由(1)知,即
.
所以,
.
由,得
.
令,显然
在区间
上单调递减.
又,所以由
,得
.
令,
,
当时,
,函数
单调递增;
当时,
,函数
单调递减;
所以,当时,函数
取最小值
,
所以,即
,即
,
所以,
,
所以,
即.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2020年初,新冠肺炎疫情袭击全国,某省由于人员流动性较大,成为湖北省外疫情最严重的省份之一,截至2月29日,该省已累计确诊1349例患者(无境外输入病例).
(1)为了解新冠肺炎的相关特征,研究人员从该省随机抽取100名确诊患者,统计他们的年龄数据,得下面的频数分布表:
年龄 | |||||||||
人数 | 2 | 6 | 12 | 18 | 22 | 22 | 12 | 4 | 2 |
由频数分布表可以大致认为,该省新冠肺炎患者的年龄服从正态分布img src="http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2020/05/25/11/70cd3e4c/SYS202005251112216152234742_ST/SYS202005251112216152234742_ST.011.png" width="80" height="22" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />,其中
近似为这100名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上(
)的患者比例;
(2)截至2月29日,该省新冠肺炎的密切接触者(均已接受检测)中确诊患者约占10%,以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率,每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者20人,为检测出所有患者,设计了如下方案:将这20名密切接触者随机地按(
且
是20的约数)个人一组平均分组,并将同组的
个人每人抽取的一半血液混合在一起化验,若发现新冠病毒,则对该组的
个人抽取的另一半血液逐一化验,记
个人中患者的人数为
,以化验次数的期望值为决策依据,试确定使得20人的化验总次数最少的
的值.
参考数据:若,则
,
,
,
,
,
.