Question

判断E：y=

6

6

x+2与2x²+3y²=6是否有公共点，若有，求交点坐标，若无，求出椭圆上的点到E的距离最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：根据题意，由直线方程与椭圆方程联立，利用判别式判断方程组无解，得直线与椭圆无交点；
设椭圆的任意一点P，求出点P到直线E的距离d的最大值即可．

解答： 解：由题意得，

y= 6 6 x+2 2x2+3y2=6

，
消去y，得2x²+3(

6

6

x+2)2=6；
整理得3x²+4

6

x+12=0，
∵△=(4

6

)2-4×3×12=-48＜0，
∴方程组无解，即直线与椭圆无交点；
又椭圆方程可化为

x2

3

+

y2

2

=1，
设椭圆上的任意一点P（

3

cosα，

2

sinα），
则点P到直线E：

6

6

x-y+2=0的距离是
d=

| 6 6 × 3 cosα- 2 sinα+2|

( 6 6 )2+(-1)2

=

| 10 2 sin(α-β)+2|

7 6

≤

2+ 10 2

7 6

=

2 42 + 105

7

，
∴椭圆上的点到E的距离最大值是

2 42 + 105

7

．

点评：本题考查了直线与椭圆方程的应用问题，解题时应利用代数法与几何法相结合，利用椭圆的参数方程进行解答，是中档题目．