Question

如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2DC，F是BE的中点．求证：
（1）DF∥平面ABC；
（2）AF⊥BD．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取AB的中点G，连接FG，由已知条件推导出四边形CDFG是矩形，由此能证明DF∥平面ABC．
（2）由已知条件推导出AF⊥BE，CG⊥AB，DF⊥AB，DF⊥FG，从而AF⊥平面BDF，由此能证明AF⊥BD．

解答： 证明：（1）取AB的中点G，连接FG，得FG∥AE，FG=

1

2

AE，
又CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，
∴CD∥AE，CD=

1

2

AE，
∴FG∥CD，FG=CD，
∵FG⊥平面ABC，
∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG，
CG?平面ABC，DF不包含于平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
（2）Rt△ABE中，AE=2a，AB=2a，
F为BE中点，∴AF⊥BE，
∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，
∴DF⊥AB，
又DF⊥FG，
∴DF⊥平面ABE，DF⊥AF，
∴AF⊥平面BDF，∴AF⊥BD．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．