Question

7．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，短轴的一个端点到右焦点的距离为$\sqrt{3}$，过点（-1，0）且斜率为1的直线l与椭圆交于不同的两点A，B．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求弦|AB|的中点坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{a=\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（2）由点斜式得直线方程为y=x+1，设直线与椭圆相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为2x²+3x=0，由韦达定理可得x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$．再利用中点坐标公式即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{a=\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得b=1，
故椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
（2）由点斜式得直线方程为y=x+1，设直线与椭圆相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为2x²+3x=0，
由韦达定理可得x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$．
故中点横坐标x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3}{4}$，
代入直线方程可得中点纵坐标y=$\frac{1}{4}$．
∴弦AB的中点坐标为$（-\frac{3}{4}，\frac{1}{4}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦的中点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．